Edward Hsieh's Profile

美國麻省理工學院的大氣科學家勞倫茲(Edward Lorenz)大概可算是本世紀發展混沌理論最先趨的人物吧！六○年代初，當他為全球天氣預報發展模擬方程式時，得出了一個驚人的結論，那就是：長期的天氣預測終究要徒勞無功！1963年，在他發表的「決定性非週期流」論文中指出：天氣是一種對初始條件敏感的系統，也就是說，不管溫度、風速、還是其他天氣因素，起初的一丁點不一樣，未來的天氣狀態就會是天壤之別；然而，更妙的還在後頭，他發現：僅管天氣變化多端、不可捉摸，但變化卻是有範圍的；這個在相空間中永遠不會重覆自己、卻跑不出像蝴蝶翅膀、又像貓頭鷹面具的天氣混沌軌跡，就是被後人為紀念勞倫茲所稱的「勞倫茲吸子」。

在歐洲，研究紊流特性的法國物理數學家惠依(David Ruelle)也發現了同樣的混沌現象；1971年的論文中，他宣示性地描述了混沌在相空間中所呈現的軌跡圖，並把這種圖象叫做「奇異吸子」(Strange Attractor)。

事實上，不管是「勞倫茲吸子」還是「奇異吸子」，都是一種叫做「碎形」(Fractal)的幾何圖形。

指的是一種在任何尺度下都呈現自我相似的形狀，例如羽狀複葉、海岸線、和椰菜花都是碎形。這位IBM研究員對混沌理論最大的貢獻就在他指出了分數維度的存在（碎形一定是分數維度）、並揭示了大自然在混沌中擁有秩序的可能。

二、沌混理論要義

簡單講，混沌現象表現出三個主要特徵：



(一)對初始條件敏感



「蝴蝶效應」是勞倫茲為這個特徵所舉的一個戲劇性的比喻。在東京的一隻小蝴蝶翅膀一揮，就能造成大西洋上空的一場颶風？

(二)相空間呈現奇異吸子



所謂吸子(attractor)是指相空間(phase space)裡的表現圖形。吸子有三種：「點吸子」是指動力系統最後會停在一個穩定值上，「周期吸子」是指系統在二個以上的穩定值之間跑來跑去；而「奇異吸子」有無限多個穩定值(等於沒有穩定值)，可是，它又不像隨機現象一樣雜亂無章；相空間中，奇異吸子是個有範圍、長相明確的圖形。這個不折不扣的「碎形」點出了混沌的關鍵內涵–「亂中有序」。

(三)系統簡單



混沌的行為雖然詭譎難測，但系統的組成分子和彼此關係卻可能極為簡單。例如：水龍頭的水滴大一點以後，水滴的頻率就開始變得混沌；

混沌的另一個極為重要的概念是自組織(self-organization)或疊代(iteration)。因為，一個會通向混沌的動力系統必定是一個自組織的系統。所謂自組織，是指系統本身變化的結果成為下一階段影響系統變化的原因